和積の公式の覚え方

 教科書などで和積の公式を見たことがある人は、「こんな公式を覚えるのか」と絶望的になったことでしょう。しかし実際には覚える必要がないどころか、その場で公式を作る必要もないのです。ただひとつ、変形のための方法を覚えるだけで良いのです。次の問題を考えてみましょう。

問. cos80°+ cos40°を簡単にせよ
 突拍子も無い変形ですが、 とおいて、加法定理で展開すると
cos80°+ cos40°
= cos(α+β) + cos(α-β)
= (cosαcosβ - sinαsinβ) + (cosαcosβ + sinαsinβ)
= 2cosαcosβ
となります。ところで αβ を解けば、 とわかるので、結局
cos80°+ cos40°
= 2cosαcosβ
= 2cos60°cos20°
= cos20°


←( cos60°= )
となりました。この問題のように手のつけようがなく見える問題でも、2つの角を、 α + βα - β とおいて展開するだけで、打開できることがあります。
 この方法ですべての和積の公式が作れます。
sin A + sin B
= sin(α+β) + sin(α-β)    ←
= (sinαcosβ + cosαsinβ) + (sinαcosβ - cosαsinβ)
= 2sinαcosβ
= 2sincos

  (3行目から4行目は、 α β で解いて、 として代入した。)

sin A - sin B
= sin(α+β) - sin(α-β)
= (sinαcosβ + cosαsinβ) - (sinαcosβ - cosαsinβ)
= 2cosαsinβ
= 2cossin
cos A + cos B
= cos(α+β) + cos(α-β)
= (cosαcosβ - sinαsinβ) + (cosαcosβ + sinαsinβ)
= 2cosαcosβ
= 2coscos
cos A - cos B
= cos(α+β) - cos(α-β)
= (cosαcosβ - sinαsinβ) - (cosαcosβ + sinαsinβ)
= -2sinαsinβ
= -2sinsin

いずれも、2つの角を、 α + βα - β とおいて展開するだけなのですから、公式自体を覚える必要は全くないのです。


 この変形は、3倍角の公式を避けるのにも役に立ちます。

問、cos3x + cosx = 0 を解け。ただし 0°≦ x < 360°とする。

 誰もが、「ああ、3倍角か」と思うでしょうが、3倍角の公式を覚えていなければ大変です。そんなとき、3xα + β , x α - β とおいてみましょう。


 また、上の計算によると、3倍角の公式を作ることもできます。

cos3x + cosx
= 2cos2x cosx
= 2(2cos2x - 1)cosx
= 4cos3x - 2cosx

 となりますから、cosx を移項して、 cos3x = 4cos3x - 3cosx  とわかりますし、

sin3x + sinx
= 2sin2x cosx  ←変形は中略しました
= 2(2sinx cosx) cosx  ←倍角の公式 sin2x = 2sinx cosx
= 4sinx cos2x
= 4sinx (1 - sin2x )
= 4sinx - 4sin3x

として、sinx を移行すれば、 sin3x = 3sinx - 4sin3x  となります。


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