積和の公式の覚え方


問題 を和の形に直せ

 和積の公式は,二つの角を α + β  ,  α - β  とおいて加法定理で展開するだけの単純なものでしたが,積和の公式はどうでしょう.実は積和の公式も,公式をその場で作るというよりは,その計算方法を覚えておくものなのですが,和積の公式にくらべるとやや複雑です.とはいえ誰もが思っているほどには難しくはありません.

 この問題の場合,まずはこの を含む加法定理の式を2つ書きます. を含むのは, の加法定理で, の2つだと気づかねばいけません.ここでは を含むものを書くので, の2つで,それらの式は


となります.さて,この2式から, を残して を消すにはどうしたらよいでしょう? それには両辺をたすことになります.ついでに左辺の について, と計算してしまいましょう.すると,

   
+)  

 
  (←括弧の中は普通に計算した)

となりますから,左右を入れ替えて両辺を でわれば,

となり,変形が終わりました.あとは になおしてカッコを展開すれば完璧です.

このように,与えられた積を含む加法定理の式2つを,たすかひくことが,積から和の形に直すときのポイントです.


 この方法で全ての積和の公式が作れます.

  が登場する加法定理の式は,先に言ったように の2つですから,まずこれらを並べて書きます.すると


となり, を残すには2式をたせばいいので,

 
+)

 

となり,左右を入れ替えて両辺を でわると

という公式ができました.

  が登場する加法定理の式は, の2つです.


ここで を残すためには を消すことになるので,2式を引き算せねばなりません.

 
−)

 

この場合は左右を入れ替えて両辺を でわって,

です.

  が登場するのも と同様, の2つです. を残すためには,両辺をたすことになります.

 
+)

 

これを左右入れ替えて両辺を でわれば

というわけです.

 ここでは一応公式を書いておきましたが,先に述べたようにに公式を丸暗記するのではなく,与えられた積を含む加法定理の式2つを,たすかひくと覚えておけばよいわけです.


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