反復試行の確率


問題 立方体の6面のうち,1つの面を赤で,2つの面を黄で,3つの面を青でぬる。

(1) この立方体を6回投げたとき,黄が4回出る確率を求めよ。

(2) この立方体を6回投げたとき,赤が1回,黄が2回,青が3回出る確率を求めよ。

同じことをくり返し行って,そのうち何回Aが起きて,Bが起きて……という確率を反復試行の確率という。

反復試行の場合,その起こり方が何通りあるかをまず考えねばならない。例えば問題(1)の場合

     

と出てもいいし,または

     

と出てもいい。(注:問題(1)で,赤と青についてはどちらが出ても,黄色の出る回数には関係がないので,まとめて考えている。)他にもいっぱいあるのでいちいち数えるわけには行かないので,個数の処理で行くことにする。

     ……4枚

     ……2枚 計6枚

を並べる並べ方を考えればいいので

となる。つまり15通りの「または」があるわけである。

次に,出かた一通り当たりの確率を考える。

例えば     の順番で出る確率は,

であるし,     の順番で出る確率は

であるし,他の出かたでも同じようにになる。(確率の事象が4回と,確率の事象が2回,と考えれば良い)。要するに,さっき計算した15通りのそれぞれの出かたについて確率がなので,これを15回たす,つまり15をかけてやれば,

となる。つまり

 反復試行の確率=出かたの通り数×一通り当たりの確率

と計算したわけである。


問題(2)も基本的に同じである。出かたについては      の順で出ても,     の順で出てもいいわけで,その出かたは

 ……1枚

 ……2枚

 ……3枚  計6枚

を並べる並べ方を考えて,

である。そしてその一通り当たりの確率がなので,求める確率は

となる。

まとめ

反復試行の確率 = 出かたの通り数(カードの並べ方の順列)× 一通り当たりの確率

練習問題

袋の中に大当たりくじが1本と,小当たりくじが2本と,はずれくじが5本入っている。このくじを1本ずつひいてはもとに戻し,計6回ひくとき,

(1)       はずれを3回だけひく確率をもとめよ。

(2)       大当たり・小当たり・はずれを各二回ずつひく確率を求めよ。


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