対数の基本公式と,底の変換公式


 log はその基本からして,これまでに使ってきた記号に比べて複雑ですから,その計算方法も一筋縄では行きません.(対数の基本は,こちらで確認してください.)

 まずはその中でも簡単なものから説明しましょう.

 log a 1 は,「 a を1にする指数」ですから,a がどんな数であっても 0 ですし( a^0=1 ),log a a は「 aa にする指数」ですから,当然 1 です.( a^1=a )

 次に  が,どう計算できるかを考えます.そのためには, が,結局は「 a を何にする指数」なのかを,実際に a の指数とした を計算することによって調べることにします.計算すれば,

となります.すなわち, は,「a にする指数」とわかりました.ということは,

であったわけです.

 次は ですが,

と計算できますから, は「aにする指数」とわかりました.つまり

なのです.

  はどうでしょうか.これも a の指数にした を計算してみるのですが,指数の順序を変えて計算すれば,

 ←( です。)

です.「a にする指数」ですから,

と変形できます.

  はどうでしょう.

←( )

ということで, は,a にする指数だとわかります.(まず一つめの指数 が,a にして,次に二つめの指数 が, にしたわけです.)

 この公式は,この形では教科書には出てきませんが,二つの対数のかけ算で,片方の真数がもう片方の底と同じなときに,一つの対数に直せるので,この形で理解しておくと便利です.普通の教科書などには,この両辺をでわってある形,すなわち

だけが載っています.これを底の変換公式といい,底を無理矢理変えるために使います.左辺から右辺に変えるときに新たに登場する底の値は,なんでもよいのです.(ただし正でしかも 1 以外です.)

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