対数とはどんな数か?


2^3=8

 これは,「2を3乗すると8である」という意味です.これを見方を変えると,「2を8にする指数は,3である」と言うこともできます.このときの「3」を,「2を8にする指数」という意味を込めて,

3=log2 8

 と書くことにしたのです.つまり log28 は「2を8にする指数」という意味であり,これが,対数の基本です.一般には

 であるとき,「 x は,ay にする指数」という意味で,

と書くわけです.このとき aとよび,正でしかも1以外とされています.また y真数とよび,元々は y=a^x でしかも a が正なのですから,真数 も正の数ということになります.

 さて,次に,「2を7にする指数」つまり log27 を考えます.2を2乗すれば4ですし,2を3乗すれば8ですから,2を7にする指数は2と3の間にあるはずです.しかしぴったりした数ではないので,このようなときは仕方なく,log27 のままにしておきます.

 ところで,次の値を簡単に直すとどうなるでしょうか.

(2の log28 乗)

(2の log27 乗)

 一つめは, ですから,結局は2の3乗ということで,8とわかります.しかしもっとうまい考え方があります.もともと log28 は「2を8にする指数」で, ではその「2を8にする指数」が実際に2の指数になっているのですから, に決まっているのです.「2*= 8」を満たすような「*」を log28 とあらわしたのですから,当然です。(ここが一番重要なところです。ゆっくり考えて理解してください)

二つめも同じことです.log27 自体は綺麗な数ではないですが,「2を7にする指数」なのですから, のように「2を7にする指数」を実際に2の指数にすれば, になるわけです.

 一般には,次のように表せます.

 ところでこれを逆に使うと,どんな数でも任意の底の指数表示に変えることが出来ます.例えば7は, と表せますし, (ただし a は正でしかも1以外)などにも変えられます.

対数の基本公式と,底の変換公式に進む | 常用対数とはどんな数か?を参照する


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